가비의 이

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목차
1. 개요2. 증명3. 심화
3.1. 증명
4. 활용
4.1. 피타고라스 정리
5. 예제6. 언어별 명칭7. 기타

1. 개요 [편집]

아래와 같이, 두 비가 같을 때, 분자와 분모를 따로 더하여 얻은 비도 처음의 두 비와 같다는 법칙으로, 일종의 항등식이다.

ab=cd=a+cb+d  (b≠0,  d≠0,  b+d≠0){\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}} \; (b\neq 0,\;d\neq 0,\; b+d\neq 0)

이것이 성립하는 이상 셋 이상의 비에서도 가비의 이는 얼마든지 성립하며, 이를 일반화하면 다음과 같다.

b1a1=b2a2=⋯=bnan=tr(I⊗b)tr(I⊗a)=∑k=1nbk∑k=1nak  (ak≠0, bk≠0, tr(I⊗a)≠0, ∑k=1nak≠0)\displaystyle \dfrac{b_{1}}{a_{1}}=\dfrac{b_{2}}{a_{2}}= \cdots =\dfrac{b_{n}}{a_{n}}=\dfrac{{\rm tr}({\sf I}\otimes{\bold b})}{{\rm tr}({\sf I}\otimes{\bold a})}=\dfrac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} b_{k}}{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_{k}} \\ \; \left(a_{k} \neq 0,\,b_{k} \neq 0 ,\, {\rm tr}({\sf I}\otimes{\bold a})\neq 0 ,\, \sum_{k=1}^{n} a_{k} \neq 0 \right)


tr\rm tr은 주대각합, ⊗\otimes는 텐서곱, I\sf I는 단위행렬이다. a, b{\bold a},\,{\bold b}는 각각  a1⋯an, b1⋯bn\,a_1\cdots a_{n},\,b_1\cdots b_{n}를 벡터로 표현한 것이다.

2. 증명 [편집]


b1a1=b2a2=⋯=bnan=K\dfrac{b_{1}}{a_{1}}=\dfrac{b_{2}}{a_{2}}= \cdots =\dfrac{b_{n}}{a_{n}}=K

라 하면, bk=Kakb_{k}=Ka_{k}이므로

∑k=1nbk∑k=1nak=K∑k=1nak∑k=1nak=K \frac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} b_{k} }{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_{k} }=\frac{\displaystyle K \sum_{k=1}^{n} a_{k} }{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_{k} }=K

∴b1a1=b2a2=⋯=bnan=∑k=1nbk∑k=1nak\therefore\dfrac{b_{1}}{a_{1}}=\dfrac{b_{2}}{a_{2}}= \cdots =\dfrac{b_{n}}{a_{n}}=\dfrac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} b_{k}}{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_{k}}


한편 수열의 합 ∑k=1nak\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{k}은 선형 변환을 통해
∑k=1nak=tr[a10⋯00a2⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯an]=tr(I⊗a)\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{k} = {\rm tr} \begin{bmatrix} a_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{n} \end{bmatrix} = {\rm tr}({\sf I}\otimes{\bold a})

로 변형할 수 있으므로, 아래의 식과도 동치가 된다:

b1a1=b2a2=⋯=bnan=tr(I⊗b)tr(I⊗a)\dfrac{b_{1}}{a_{1}}=\dfrac{b_{2}}{a_{2}}= \cdots =\dfrac{b_{n}}{a_{n}}=\dfrac{{\rm tr}({\sf I}\otimes{\bold b})}{{\rm tr}({\sf I}\otimes{\bold a})}

3. 심화 [편집]

나아가, 더욱 일반적인 차원에서 다음도 가비의 이라고 한다.

ab=cd=xa+ycxb+yd  (b≠0,  d≠0,  xb+yd≠0){\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{xa+yc}{xb+yd}} \; (b\neq 0,\;d\neq 0,\; xb+yd\neq 0)


새로운 변수를 얼마든지 추가해도 가비의 이는 성립하는데, 이를 일반화하면 다음과 같다.

\displaystyle \dfrac{b_{1}}{a_{1}}=\dfrac{b_{2}}{a_{2}}= \cdots =\dfrac{b_{n}}{a_{n}}= \frac{{\rm tr}({\overline\bold x} \otimes {\bold b})}{{\rm tr}({\overline\bold x} \otimes {\bold a})} = \dfrac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} x_{k}b_{k}}{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} x_{k}a_{k}} \\ \left(a_{k} \neq 0,\,b_{k} \neq 0 ,\, {\rm tr}({\overline\bold x} \otimes {\bold a}) \neq 0 ,\, \sum_{k=1}^{n} x_{k}a_{k} \neq 0 \right)

tr\rm tr은 주대각합, ⊗\otimes는 텐서곱이다. x, a, b{\bold x},\,{\bold a},\,{\bold b}는 각각 x1⋯xn, a1⋯an, b1⋯bnx_1\cdots x_{n},\,a_1\cdots a_{n},\,b_1\cdots b_{n}를 벡터로 표현한 것이다. {\overline\bold x}은 x{\bold x}의 켤레이다.

3.1. 증명 [편집]


b1a1=b2a2=⋯=bnan=K\dfrac{b_{1}}{a_{1}}=\dfrac{b_{2}}{a_{2}}= \cdots =\dfrac{b_{n}}{a_{n}}=K

라 하면, ak=Kbka_{k}=Kb_{k}이므로

∑k=1nxkbk∑k=1nxkak=K∑k=1nxkak∑k=1nxkak=K \frac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} x_{k}b_{k} }{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} x_{k}a_{k} }=\frac{\displaystyle K \sum_{k=1}^{n} x_{k}a_{k} }{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} x_{k}a_{k} }=K

∴b1a1=b2a2=⋯=bnan=∑k=1nxkbk∑k=1nxkak\therefore\dfrac{b_{1}}{a_{1}}=\dfrac{b_{2}}{a_{2}}= \cdots =\dfrac{b_{n}}{a_{n}}=\dfrac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} x_{k}b_{k}}{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} x_{k}a_{k}}


위 문단과 마찬가지로 수열의 합 ∑k=1nxkak\displaystyle\sum_{k=1}^{n} x_k a_{k}은 선형 변환을 통해
\displaystyle\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n} x_k a_{k} &= {\rm tr} \begin{bmatrix} x_1 a_{1} & x_2 a_{1} & \cdots & x_n a_{1} \\ x_1 a_{2} & x_2 a_{2} & \cdots & x_n a_{2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1 a_{n} & x_2 a_{n} & \cdots & x_n a_{n} \end{bmatrix} \\ &= {\rm tr}({\overline\bold x}\otimes{\bold a})\end{aligned}

로 변형할 수 있으므로, 아래의 식과 동치가 된다:

\dfrac{b_{1}}{a_{1}}=\dfrac{b_{2}}{a_{2}}= \cdots =\dfrac{b_{n}}{a_{n}}=\dfrac{{\rm tr}({\overline\bold x}\otimes{\bold b})}{{\rm tr}({\overline\bold x}\otimes{\bold a})}

4. 활용 [편집]

수학 정리를 증명할 때 가비의 이를 활용할 수 있다.

4.1. 피타고라스 정리 [편집]

파일:나무_가비의리_피타고라스.png

각 C\rm C를 직각으로 하는 삼각형 ABC\rm ABC가 있다. 점 C\rm C에서 빗변 AB\rm AB에 내린 수선의 발을 H\rm H라고 하면 직각삼각형 ABC\rm ABC, ACH\rm ACH, CBH\rm CBH는 각각 닮음이고, 닮은 직각삼각형의 넓이는 빗변의 제곱에 비례하므로

AB‾2△ABC=AC‾2△ACH=BC‾2△CBH\dfrac{\overline {\rm AB}^2}{\triangle\rm ABC}=\dfrac{\overline {\rm AC}^2}{\triangle\rm ACH}=\dfrac{\overline {\rm BC}^2}{\triangle\rm CBH}

가비의 이를 적용하면

AB‾2△ABC=AC‾2+BC‾2△ACH+△CBH\dfrac{\overline{\rm AB}^2}{\triangle\rm ABC}=\dfrac{\overline {\rm AC}^2+\overline {\rm BC}^2}{\triangle\rm ACH+\triangle\rm CBH}

한편,

△ACH+△CBH=△ABC\triangle\rm ACH+\triangle\rm CBH=\triangle\rm ABC

∴AB‾2=AC‾2+BC‾2\therefore\overline{\rm AB}^2=\overline{\rm AC}^2+\overline{\rm BC}^2

5. 예제 [편집]

[문제]
세 상수 aa, bb, cc에 대하여

a3a−b−c=b3b−c−a=c3c−a−b=k\dfrac{a}{3a-b-c}=\dfrac{b}{3b-c-a}=\dfrac{c}{3c-a-b}=k

를 만족시키는 kk의 값을 구하시오. (단, 3a−b−c≠03a-b-c\neq 0, 3b−c−a≠03b-c-a\neq 0, 3c−a−b≠03c-a-b\neq 0이다.)

[풀이 보기]

[1] a+b+c≠0\boldsymbol{a+b+c \neq 0}일 때
가비의 이에 의하여

a3a−b−c=b3b−c−a=c3c−a−b=a+b+c(3a−b−c)+(3b−c−a)+(3c−a−b)=a+b+ca+b+c=1\begin{aligned} \dfrac{a}{3a-b-c}&=\dfrac{b}{3b-c-a} \\&=\dfrac{c}{3c-a-b} \\&=\dfrac{a+b+c}{(3a-b-c)+(3b-c-a)+(3c-a-b)} \\& =\dfrac{a+b+c}{a+b+c} \\&=1 \end{aligned}


[2] a+b+c=0\boldsymbol{a+b+c = 0}일 때
가비의 이를 사용하지 못하므로 a+b+c=0a+b+c=0 자체를 단서로 활용한다.

a3a−b−c=a3a+a=14b3b−c−a=b3b+b=14c3c−a−b=c3c+c=14∴a3a−b−c=b3b−c−a=c3c−a−b=14\begin{aligned} \dfrac{a}{3a-b-c}&=\dfrac{a}{3a+a}=\frac{1}{4} \\ \dfrac{b}{3b-c-a}&=\dfrac{b}{3b+b}=\frac{1}{4} \\ \dfrac{c}{3c-a-b}&=\dfrac{c}{3c+c}=\frac{1}{4} \\ \\ \therefore \dfrac{a}{3a-b-c}&=\dfrac{b}{3b-c-a}=\dfrac{c}{3c-a-b}=\dfrac{1}{4} \end{aligned}


가비의 이는 분모가 0이 되지 않는 한에서 성립함을 상기해야 두 가지 경우에 대한 kk의 값을 완벽히 찾아낼 수 있다.

6. 언어별 명칭 [편집]

  • 한국어: 가비의 이(리), 합비의 이(리)
  • 영어: componendo
  • 일본어: 加比(かひ)の理(り), 合比(ごうひ)の理(り)
  • 중국어: 合比定理(hé bǐ dìng lǐ)

일본에서 加比(かひ)の理(り)로 칭하는 것을 한국에서 그대로 받아들였다. 비(比)를 더하는(加) 법칙(理)이라는 뜻으로, 일본식 용어를 한국에서 그대로 받아들인 수많은 예 중 하나. 사실 '가비의 리'로 더 널리 알려져 있으나, 두음 법칙을 생각하면 '가비의 이'가 한글 맞춤법에 부합한다.[1] 그러나 수학 용어로 "가비의 리" 자체가 상당히 굳어졌으며 '서울에서 인천까지 몇 리냐?', '그럴 리가 없다' 등 두음 법칙이 적용되지 않는 사례도 있기 때문에, '가비의 리'는 옳지 않고 '가비의 이'만 옳다고 해서는 안 된다는 주장도 있다.

합비(合比)의 이(리)라고도 하지만 잘 쓰지 않는다. 한편, 중국에서는 '합비정리(合比定理)'라고 한다.

이 비직관적인 이름 때문에 오해가 생기는 일도 더러 있는데, '이'부터 전혀 다른 의미의 수학 용어가 있고[2] 가비도 사람 이름[3] 같아서 "가비라는 사람이 만든 술어 부정 정리인갑다" 하고 잘못 받아들일 수 있다는 것.

'가비의 리'를 잘못 듣고 '가리의 비'로 착각하는 경우도 많다. "이치"라는 뜻의 "리(理)"보다 수학 용어 "비(比)"에 익숙하고, 이것이 '가리(칼륨)[4]의 비율'이라는 뜻으로 오해하기도 쉽고, 또 가리비라는 유사한 이름의 조개가 있기 때문으로 보인다.

자주 사용하는 용어로 바꾸어 이르자면 '유리식의 덧셈법칙' 같은 이름이 될 것이다.

7. 기타 [편집]

  • 가비의 이는 고1 때 배운다.
[1] 理(다스릴 리)의 본음이 '리'이지만 어두에 왔으니 '이'로 발음하는 것이 표준 발음법에 부합한다.[2] 심지어 본음도 '리'로 같다. 한자 표현은 裏로 다르기는 하지만.[3] 실제로 스페인어권에서 가브리엘의 애칭을 가비(gabi(e))라고 하곤 한다. 대표적인 예로 국가비가 있다.[4] 사이안화 칼륨보다 청산가리라는 명칭이 익숙할 것이다.

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